為什麼正多面體只有5種 正多面體只有5種證明

1、證明：設正多面體的每個面是正n邊行，每個頂點是m條稜，於是，稜數E應是F（面數）與n的積的mv-0.html" target="_blank" >一半，即Nf=2E（1式）。同時，E應是V（頂點數）與M的積的一半，即mV=2E（2式）。由1式、2式，得，F=2E/n, V=2E/m，代入歐拉公式V+F-E=2，有2E/m+2E/n-E=2整理後，得1/m+1/n=1/2+1/E。

2、由於E是正整數，所以1/E>0。因此1/m+1/n>1/2（3式），3式説明m,n不能同是大於3，否則3式不成立。另一方面，由於m和n的意義（正多面體一個頂點處的稜數與多邊形的邊數）知，m>=3且n>=3。因此m和n至少有一個等於3。

3、當m=3時，因為1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整數，所以n只能是3，4，5。

4、同理n=3，m也只能是3，4，5，所以n m 類型，3 3 正四面體，4 3 正六面體，3 4 正八面體，5 3 正十二面體，3 5 正二十面體，由於上述5種多面體確實可以用幾何方法作出，而不可能有其他種類的正多面體，所以正多面體只有5種。