證明直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半 證明步驟是什麼
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證法1:
ΔABC是直角三角形,作AB的垂直平分線n交BC於D
∴ AD=BD(線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等)
以DB為半徑,D為圓心畫弧,與BC在D的另一側交於C'
∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D (等邊對等角)
又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D =180°(三角形內角和定理)
∴∠BAD+∠C’AD=90° 即:∠BAC’=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠BAC=∠BAC’
∴C與C’重合(也可用垂直公理證明 :假使C與C’不重合 由於CA⊥AB,C’A⊥AB 故過A有CA、C’A兩條直線與AB垂直 這就與垂直公理矛盾 ∴假設不成立 ∴C與C’重合)
∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中線且AD=BC/2這就是直角三角形斜邊上的中線定理。
證法2:
ΔABC是直角三角形,AD是BC上的中線,作AB的中點E,連線DE
∴BD=CB/2,DE是ΔABC的中位線
∴DE‖AC(三角形的中位線平行於第三邊)
∴∠DEB=∠CAB=90°(兩直線平行,同位角相等)
∴DE⊥AB
∴E是AB的垂直平分線
∴AD=BD(線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等)
∴AD=CB/2
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