已知三角形三邊求面積 已知三邊求三角形面積

1、假設有一個三角形,邊長分別為a、b、c,三角形的面積S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式裏的p為半周長：

p=(a+b+c)/2

2、設三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C,則餘弦定理為

cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√(1-cos^2 C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

設p=(a+b+c)/2

則p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

3、所以,三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]